作者：羅伯.麥修斯（Robert Matthews）
譯者：高英哲
出版社：大牌出版
「平均律告訴我們，當我們知道（或有預感自己在處理涉及機率的事件時），不應著重在事件本身，而是要注意相對頻率，也就是每個事件各自的出現次數占總次數的比例。」
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「解讀看似「隨機」的事件時，不要自動假設它們為獨立事件。世界上有許多事件並非獨立事件；若假設它們是獨立事件，機率的估計結果有時會極其誤導。」
📝 買到一盒好幾顆雙蛋黃的蛋。
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「1970年代，加拿大麥克馬斯特大學（McMaster University）心理學家諾曼·金斯伯格（Norman Ginsburg）曾經有項研究是要求受測者隨機寫下100個連續數字。大多數受測者都能寫出毫無規則的數列，只出現少數幾個重複，連號或是任何模式。換句話說，受測者都會盡其所能確保每個數字都有『公平機會』，出現在這串毫無模式可言的數列中。但這項測試也正好反映出，受測者對於隨機性的根本誤解。」
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「根據表現做決策時，對於非凡的表現要特別當心。根據定義，非凡的表現就是不具代表性的資料。拜回歸平均數非凡的均等效應所賜，非凡的表現特別容易以失望告終。」
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「研討會上發表的聲明不值一顧，等發表在重要期刊時再說。即使真的發表，也請切記，這是值得關注的必要條件，不是充分條件。頂尖期刊也可能（確實也曾經）出現無稽之談。」
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「馬克斯普朗克人類發展研究所的史蒂芬.荷索（Stefan Herzog）跟拉夫.荷威格（Ralph Hertwig），想出一個能達成這個目標的技巧：辯證拔靴法（dialectical bootstrapping）。幸好這項技巧的內涵，比它的名稱簡單。
首先，不管要預測什麼事，隨便找個想法，做初步的猜測，並記下來。現在想像有人說你這個猜測不對，接著思考哪裡可能出錯，哪裡假設可能不正確，如果改變這些假設，有何影響？預測結果會因此變高或變低？然後根據你對問題的新見解，再次估計。荷索跟荷威格有個卓越的發現：一般來說，兩個猜測的平均值，比任一個別的猜測值，更接近真正的答案。」
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玩越久、越多次，優勢就會漸漸倒向莊家，因為賭場就是這樣設計的，所以減少玩的次數，然後見好就收：「你若帶了100英鎊去賭場，決定在輪盤上試手氣。視生意狀況而定，輪盤一小時大概可以玩30到40次。如果你一注10鎊，花15分鐘賭完，至少不輸不贏的機率會略高於一注5鎊玩半小時。因為一注10鎊只需10次，一注5鎊要玩20次，曝露在莊家優勢下的時間若能減半，就能把在輸光前贏得50鎊利潤的機率，從三分之一提高到大約一半。若你賭10把押紅或押黑，就數學上來說，至少不輸不贏的機率超過一半，還有將近三分之一的機率可以賺到錢，而且你百分之百可以說，你玩輪盤時完全知道自己在幹嘛。」
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或然率的奇特表述：「運彩賭徒下注是為了贏錢（至少理論上是），因此傳統上，他們不以或然率描述事件機率，而是說下注贏了之後能有多少利潤。舉例來說，他們不說某匹馬有22%的機率勝出，而是說某匹馬『2賠7』（7 to 2），意思是每下注2鎊，賭贏的利潤是7鎊。若要把『X賠Y』的賠率換算成以百分比顯示的或然率，就用x除以X+Y，再乘以100。對於高或然率的事件，賭徒會說這事件『3賠1』（3 to 1），意思是每下注3鎊，只有1鎊的利潤。若要把這些賠率換算成百分比，也是套用同樣的公式，如『3賠1』就是75%。」
「不過，博彩公司貼出的實際賠率不會是4賠6，而是接近「一半一半」，意即有50%的機率勝出。義如其字，一半一半的賠率是你每下注4鎊，贏了就給你4鎊。這比4賠6的彩金吝嗇多了。換句話說，這樣的賭博報酬對賭客並不公平，而中間的差額就到博彩公司的口袋。任何認為博彩公司的賠率，準確反映事件發生機率的人，完全落入博彩公司的陷阱。博彩公司貼出的賠率，相當於賭場假裝公平的賭金，事實上完全不是那麼一回事——而中間的差額，就是他們的獲利邊際（有時稱為『莊家優勢』或『抽頭』），經常達到20%以上。」
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「在不確定性下做任何決定，首先要問一個問題：可能的結果是什麼？回答這個問題的基本方法，出自17世紀卓越的法國大學者、率先研究或然率理論的帕斯卡（Blaise Pascal）。這個方法如此強大，卻極為簡單：對不確定事件的預期結果，可藉由結果乘以發生的實際機率做為評量。例如，有個賭注贏得100鎊的機率是20%，這100鎊是賭注的結果；根據帕斯卡的主張，我們對這個賭注的預期結果，是100鎊乘以20%（發生機率），即期望值20鎊。就這麼簡單，但有道理嗎？畢竟我們實際上得到的，不是100鎊，就是一毛也沒有，永遠不可能是20鎊。當然，只有賭了才知道是哪一種結果，但到了那個時候，恐怕有點為時晚矣。」
「我們也要面對輸的可能，而輪的風險高 80%。因此，我們現在再應用一次帕斯卡法則，看輸的結果如何。我們顯然不希望預期損失超過預期利得，因為這意味著長期來說會輸錢。在這個例子中，我們可以做的是不要拿太多錢冒險，以免輸掉的80%，超過預期會贏的錢，也就是20鎊。這表示拿去冒險的賭金不能超過25鎊（25 × 80% = 20）。」
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延長保固：「有間超市收費99鎊，提供價值349鎊的新電視五年保固。付99鎊買五年心安，似乎不算很多，然而若從期望值理論來看，你可能會再想一想。電視故障的『期望損失』，就是這台電視的成本乘以故障機率。我們不知道故障機率是多少，不過我們知道，期望值不應該超過我們被要求支付的99鎊保險費，因為這麼一來，我們就等於是為電視機故障的風險過度投保。因此，電視的保固費，只有低於349鎊乘以壞掉風險時，才值得購買；換算一下，這等於說電視在五年內壞掉的風險，至少是99/349（約28%）。你若覺得這個電視機故障機率合理，那就可以買保固。不過，你可能想先了解真正的故障率是多少：《買哪個好？》（英國消費者協會發行的雜誌）查過了，實際的故障率僅5%。比起99鎊保險費對應的合理最低故障率，這實在低太多了吧？現在，我們也可以算出合理的保險費：349鎊乘以5%的故障率，也就是約18鎊，僅僅只是99鎊的一小部分。」
「同樣的基本觀念，也可以用在評估購買遺失險或竊盜險：合理保費大約等於裝置價值乘以遺失或竊盜的機率。這時候就值得查一下犯罪統計數據，而保費只要超過該裝置價值的幾個百分點，就是不折不扣的剝削。即使沒有確切的數據，也可以用個人經驗評估風險。某件事未曾發生在你身上，光是這個事實就已經透露非常多事情。只要做點計算就會發現，儘管某事件有N次機會發生，卻始終沒有發生的話，那麼你可以很有把握，該事件發生的頻率不會超過3/N。因此舉例來說，倘若在過去五年內，你擁有N個東西，卻從未遺失過任何一件，那麼如果未來情境類似，你使用新裝置卻遺失的機率，很可能低於3/N。如果擁有大約幾十項物品，那麼3/N約等於10%，因此為未來五年的遺失或竊盜風險所付的合理保費，就不應該超過物品價格的10%，也就是每年保費大約是購買價格的2%。」
「買房屋險或是海外醫療險，卻是另外一回事。你可能認為出國幾天生病的風險很低，根本不值得付20鎊的保費；但是住院費與送返國門的成本，隨便就超過這個數目一萬倍。當賭輸的代價是欲哭無淚的20萬鎊帳單時，你真的能信心滿滿地賭這些倒楣事發生的機率低於1/10000嗎？
這裡點出保險以及一般決策的關鍵事實：事情完全取決於背景架構。你若很窮，即使是保費合理，也可能超出你的負擔；無論你有多理性，你只能賭自己運氣夠強。另一方面，有錢人實際上可能願意付出比合理水準更高的保費，只因為錢對他們來說比較不算什麼。」
📝要考慮賭輸的後果。
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「我們可以利用帕斯卡原則，成為自己的保險人；」
「只要將事物的價值乘以逢厄的風險，算出合理的保費，然後分期將『保費』提撥到一個『沉沒基金』（sinking fund，亦即只存不提）。此外，我們也可以一次提撥原本要繳給保險公司的保費（保證比你需要用到的還多）。無論用哪種方式，若是碰上災厄，我們都有保障；若平安無事，我們也有了一筆還不錯的儲蓄。」
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概似比：「例如，倘若在篩檢結果出爐前，認為某位病人罹患乳癌的機率僅5%，就等於把對罹患乳癌機會的最初看法設定為0.05。假設篩檢方法在有乳癌的情況下，得到陽性反應的或然率是80%，而沒有乳癌卻得到陽性反應的機率（「假警報率」）是20%，那麼這項篩檢的概似比就是0.8/0.2=4。貝氏定理告訴我們，篩檢結果呈陽性反應，我們對病人罹患癌症的相信程度，應該從最初的0.05提升到4倍，因此更新後的機會是0.2。把這轉換成或然率，就表示有17%的機率罹患乳癌，因此儘管篩檢結果呈陽性，還是有83%的機率並沒有罹癌。」
概似比（這個比率表示證據的強度）= (Pr（假設你相信的是為真，而觀察到的證據）)/(Pr（假設你相信的事並非事實，卻觀察到證據）)
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「如抽到一張紅色撲克牌是方塊的或然率（50%），等於抽到一張方塊撲克牌是紅色的或然率（100%）。在把證據轉化成見解時，若是不慎把條件或然率倒反過來，正是釀成大災難的最好方法。」
📝 抽到一張方塊，可以100%確定是紅色，但不表示抽到紅色也可以100%確定是方塊。
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「Pr（有罪下自白）必須大於Pr（無罪下自白）講得更直白點，我們必須有把握，一個罪犯自白的機率，大於無罪者自白的機率。這當然是個可以爭議的問題，而這正是關鍵所在：我們顯然不能斷定這個條件舉案皆然。」
「貝氏定理的重點，在於要對這兩種或然率加上限制：因為事實上很難保證，事情一定是其中的哪一種狀況。只需稍微想一下，就會發現某些類型的犯罪，可能會出現完全相反的情況。」例如：訓練有素的職業殺手或恐怖份子，他們自白的機率很可能遠低於無辜者。「根據貝氏定理，職業殺手開口自白的機率，光和無辜者一樣是不夠的，必須更可能開口自白，才能在這個案例中成為判定有罪的有用證據。」
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「若要評估證據的份量，我們還需要知道偽陽性率，而偽陽性率必須低於真陽性率才行」
Pr（有腦瘤時，一直頭痛）
或然率約為50%到60%。
這時，你可能會輕易認為「反之亦然」，即：
Pr（一直犯頭痛的情況下，結果是罹患腦瘤）
或然率也約為50%到60%。
運用完整的貝氏定理，可以得知：
頭痛時，罹患腦瘤的機率 = LR x 罹患腦瘤的機率
LR = (Pr（罹患腦瘤，一直犯頭痛）)/(Pr（沒有罹患腦瘤，一直犯頭痛）)
「現在我們不必杞人憂天，原因有二。首先，也是最重要的，腦瘤很罕見，每年幾千人才有一個確診，因此患腦瘤的事前或然率非常低。不過，若如此低的事前機率，被非常高的LR 拉高的話，那我們就有理由要擔心。我們已有一半計算LR所需的資訊：若罹患腦瘤，有50%到60%的機率會頭痛。幸好這只是LR公式的分子；我們還得知道若沒有罹患腦瘤，犯頭痛的或然率是多少。由於頭痛是非常普遍的現象，或然率相當高，因此LR不會太高。總結來說，低事前機率加上普普的LR，因此頭痛是因為罹患腦瘤的機率很低。」
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工具：Bayesian Credibility Analysis，該頁面允許根據當前知識評估臨床試驗結果的可信度。
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「『貝氏推論引擎』能告訴我們，必須要對資料具有多少事前相信程度，才能產生具有說服力的結論。我們只需決定一件事：我們是否認為那樣的事前相信程度確實合理？我們可能會覺得那實在荒謬，這時我們完全有理由認為，新研究發現沒有說服力。相反地，若我們覺得結果符合自己的想法，就同樣有理由可以聲稱，新研究發現有其道理。這整個過程都很透明，符合民主精神，而且也是量化標準」
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「中位數的定義是資料對半切分後出現的值：因此，所有的量測結果，有50%低於中位數，另外50%高於中位數。遵循鐘形曲線的資料，中位數正好等於平均值」
「以『你拿的比較少有限公司』為例，實際上根本沒有人拿到平均薪水，因為肥貓的薪資高得不像話，拉高了平均薪資，但平均薪卻毫無意義可言；反觀中位數薪資，只有普普的25000英鎊。一般來說，中位數遠低於平均數，表示分配往較低值嚴重偏態；平均數會被偏離值高而誤導，在這裡，偏離值就是肥貓的薪資。」
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「最小平方法（method of least squares），或稱線性迴歸法（linear regression），雖然這個名字也沒有比較好懂。基本上，這個方法就是在一堆亂無章法的資料裡畫出一條直線，但這條線並非隨便畫的，它是一條最適線。『最適』的精確定義偏技術性，不過基本而言，若要如右頁圖般畫一條盡可能貼近最多資料點的線，它必須精確符合某些數學條件。」
「用線性迴歸法在資料中尋找關聯性，最根本的問題一如尋找相關性：資料本身到底有無任何關聯，都還很難說！」
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1990年，哈利.馬可維茲（Harry Markowitz）獲頒諾貝爾經濟學獎。「他寫下來的方程式，成為如今稱為現代投資組合理論（Modern Portfolio Theory, MPT）的基礎。就表面上看來，現代投資組合理論達成了某種奇蹟：把投資組合裡各項資產的歷史資料輸入其中，就能顯示應持有的最佳資產組合。」
「即使是業餘投資人，只要檢視某些資產的過往績效，找出報酬、相關係數及風險（以報酬的變異數衡量），就能借力於現代投資組合理論。」只要將各項數字輸入方程式，就能夠得出「各項資產所需百分比，以建立分散化、風險降至最低、同時報酬還不錯的最佳化投資組合。」
不過，無數投資人越想越不對勁，「現代投資組合理論雖然證實了分散化投資的價值所在，卻引發更多問題。」像是，該用變異數還是或然率來量測風險？輸入的數字直接取平均值嗎？還是取特定時間區間的數值？「更糟的是，當在你身處金融危機，最需要資產分散化走勢時，偏偏投資人的從眾心理經常使負相關資產同步走跌。」
「面對這種種挑戰，許多投資人發現很難信任現代投資組合理論的數學原理，就連馬可維茲本人也不例外。就在他研發出這套理論後不久，他也得建立自己的退休帳戶投資組合。他理應分析各項資產的績效記錄，計算出最佳組合；然而他卻發覺自己無法面對這樣做可能會出錯的後果，於是就單純地把一半的錢放在股票，另一半放在債券。」
XDDD